La paradoja de Russell y su solución

Alejandro Guevara Arroyo

I)         La paradoja

La paradoja de Russell muestra una contradicción en la teoría de conjuntos o de clases (son sinónimos) que Gottlob Frege suponía en su obra (en realidad, es presupuesta por todos los representantes de la teoría de conjuntos clásica).

Un conjunto o clase es un concepto mediante el cual se agrupan todas las entidades que poseen cierta propiedad o predicado común. Existen conjuntos que contienen individuos, como el conjunto de los libros de mi biblioteca y conjuntos que contienen conjuntos, como el conjunto de todos los libros, que contiene al conjunto de mis libros. O mediante otro ejemplo: el conjunto de mi gata (conjunto formado por un solo individuo) es un sub conjunto del conjunto de todos los gatos. A su vez, el conjunto de todos los gatos es un sub conjunto del de todos los mamíferos felinos y así podemos seguir.

Además, hay conjuntos (o clases) que se contienen a sí mismo, como el conjunto de los conceptos, que es un concepto él mismo y conjuntos que no se contienen a sí mismos, como el de los libros, que evidentemente no es un libro.

Bien. La paradoja de Russell se revela al preguntarse si la clase (o conjunto) que contiene a todas las clases que no se contienen a sí mismas, se contiene o no a sí misma. Respóndase que sí se contiene, entonces por definición no se contiene. Si respondemos que no, por tanto sí. De forma que, sin importar cómo se responda, se infiere siempre una contradicción.

Esta paradoja muestra la estructura lógica propia de otras paradojas famosas en la filosofía, como la conocida paradoja del mentiroso, según la cual Epimenides el cretense dice “todos los cretenses son mentirosos”, con lo cual si dice la verdad está mintiendo y si miente está diciendo la verdad.

II)       La solución de la paradoja: la teoría de tipos

Russell cimentó por vez primera la solución a la paradoja en un artículo intitulado “Mathematical Logic as based on the Theory of Types”. En este texto y luego más extensamente en su Principia Mathematica, Russell presenta su teoría de los tipos.  Junto con la teoría de las descripciones definidas, la teoría de tipos lógicos es de seguro la mayor contribución a la filosofía analítica. A partir de ambas se desarrollaron  multitud de discusiones, críticas y nuevas posiciones.

La presentación más técnica de la teoría de tipos requiere introducir otro concepto russelliano: el de función proposicional. Se denomina así a toda afirmación o enunciado con estructura sujeto-predicado, que posee un sujeto indeterminado. Una función proposicional en que se especifique el sujeto, deja de ser tal y pasa a formar parte del conjunto de las proposiciones. Consecuentemente con esta distinción, a las funciones proposicional no puede atribuírseles ni el valor epistémico verdad ni el valor epistémico falsedad (otra nota definitoria que distingue al conjunto de las funciones proposicionales del conjunto de las proposiciones). Una función proposicional puede quedar especificada una vez se determina el conjunto de los objetos que pueden lógicamente ser referentes del sujeto.

Sucede que los enunciados que relacionan clases abstractas son precisamente funciones proposicionales. Ahora bien, para solucionar la paradoja, lo que Russell hace es estipular que la propia función no puede lógicamente formar parte del sujeto en cuestión. Se crea de esta forma, algo así como una escalera de clases o para decirlo en términos de Russell: tipos. Cada tipo constituye un nivel de clases. De forma tal que en cualquier enunciado que establece las relaciones entre clases, ninguna clase de un tipo superior o igual puede pertenecer a una de un tipo inferior.

            La solución russelliana llevó a varias críticas matemáticas que el filósofo inglés intentó corregir introduciendo otro principio especial, que a su vez fue criticado por no ser lógico-matemático. Posteriormente, la paradoja de Russell ha encontrado otras soluciones que evitan algunas de estas dificultades.

III)     Paradojas semánticas e influencia en la teoría de metalenguajes

Como ya mencioné, Russell aplicó una solución semejante a las paradojas semánticas (como la Epiménides). En este caso, la solución consiste en afirmar que una proposición de la que se afirma verdad o falsedad debe ser de orden inferior a la proposición en la que se realiza dicha afirmación.

Parece que esta idea influyó a Tarski al formular su teoría de metalenguajes, en la cual las antinomias semánticas de la verdad, se solucionan estableciendo un metalenguaje con reglas semánticas desde las que no pueden surgir las antinomias (Tarski dedica La concepción semántica de la verdad a Russell).

Otra aplicación interesante de la teoría de tipos se da para solucionar una dificultad paradójica presentada por Wittgenstein en su Tractatus Lógico-philosophico. Según esta obra, la estructura lógica fundamental del lenguaje no puede expresarse con sentido, pues esto debe hacerse desde el mismo lenguaje del cual se intenta dar la estructura fundamental. De forma tal que tal estructura fundamental solo puede mostrarse. Russell soluciona esta cuestión, sugiriendo que si bien el problema se da desde un mismo lenguaje, nada evita que pueda expresarse con sentido la estructura de un lenguaje desde un lenguaje que se encuentre en un nivel lógico superior (esta idea –propuesta en la introducción al Tractatus- establece claramente la distinción entre lenguajes y meta-lenguajes). No tiene por qué existir un límite lógico para los posibles metalenguajes desde los que expresar la estructura de un lenguaje inferior.
 Creo que aún podría encontrarse algunos usos interesantes de la teoría de tipos russelliana para solucionar algunas paradojas. Claro está, tal introducción requiere una justificación. Pero tal es una investigación aparte.